Pochodne to jedno z kluczowych pojęć w matematyce, które znajduje zastosowanie w fizyce, ekonomii, inżynierii i wielu innych dziedzinach. Jeśli kiedykolwiek zastanawiałeś się, jak szybko zmienia się wartość funkcji lub jak znaleźć ekstremum funkcji, to właśnie pochodne są odpowiedzią na te pytania. W tym artykule przedstawię kompleksowy przewodnik po wzorach na pochodne, który pomoże Ci zrozumieć i zapamiętać najważniejsze reguły różniczkowania.
Czym jest pochodna?
Zanim przejdziemy do wzorów, zrozummy najpierw, czym właściwie jest pochodna. Pochodna funkcji w danym punkcie to miara szybkości zmian tej funkcji. Możemy ją interpretować jako nachylenie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.
Formalnie, pochodną funkcji \( f(x) \) definiujemy jako:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Ten wzór mówi nam, że pochodna to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu \( h \) dąży do zera. W praktyce jednak rzadko korzystamy z tej definicji bezpośrednio – zamiast tego używamy gotowych wzorów na pochodne podstawowych funkcji oraz reguł różniczkowania.
Podstawowe wzory na pochodne funkcji elementarnych
Zacznijmy od najprostszych i najczęściej używanych wzorów. Te wzory to fundament, który musisz znać na pamięć:
Funkcja stała
\[ (c)’ = 0 \]
Pochodna stałej wynosi zawsze zero. Ma to sens intuicyjnie – stała nie zmienia się, więc jej szybkość zmian wynosi zero.
Funkcja potęgowa
\[ (x^n)’ = n \cdot x^{n-1} \]
To jeden z najważniejszych wzorów. Przykłady:
- \( (x^2)’ = 2x \)
- \( (x^3)’ = 3x^2 \)
- \( (x^{10})’ = 10x^9 \)
- \( (\sqrt{x})’ = (x^{1/2})’ = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Funkcja wykładnicza
\[ (e^x)’ = e^x \]
\[ (a^x)’ = a^x \ln(a) \]
Funkcja \( e^x \) ma niezwykłą właściwość – jej pochodna jest równa jej samej!
Funkcje logarytmiczne
\[ (\ln x)’ = \frac{1}{x} \]
\[ (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \]
Funkcje trygonometryczne
\[ (\sin x)’ = \cos x \]
\[ (\cos x)’ = -\sin x \]
\[ (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \]
\[ (\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \]
Funkcje cyklometryczne
\[ (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2} \]
\[ (\text{arccot } x)’ = -\frac{1}{1+x^2} \]
Tabela podstawowych pochodnych
| Funkcja | Pochodna |
|---|---|
| \( c \) (stała) | \( 0 \) |
| \( x^n \) | \( nx^{n-1} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( a^x \) | \( a^x \ln a \) |
| \( \ln x \) | \( \frac{1}{x} \) |
| \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
| \( \tan x \) | \( \frac{1}{\cos^2 x} \) |
Reguły różniczkowania
Znajomość pochodnych funkcji elementarnych to dopiero początek. Aby obliczać pochodne bardziej skomplikowanych funkcji, potrzebujemy poznać reguły różniczkowania.
Reguła stałej przed pochodną
\[ (c \cdot f(x))’ = c \cdot f'(x) \]
Stałą można wyciągnąć przed znak pochodnej. Przykład:
\[ (5x^3)’ = 5 \cdot (x^3)’ = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2 \]
Reguła sumy i różnicy
\[ (f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x) \]
Pochodna sumy (lub różnicy) funkcji to suma (lub różnica) ich pochodnych. Przykład:
\[ (x^2 + 3x – 5)’ = (x^2)’ + (3x)’ – (5)’ = 2x + 3 – 0 = 2x + 3 \]
Reguła iloczynu
\[ (f(x) \cdot g(x))’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]
Ta reguła jest szczególnie ważna. Pochodna iloczynu NIE jest iloczynem pochodnych! Przykład:
\[ (x^2 \cdot \sin x)’ = (x^2)’ \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)’ = 2x \sin x + x^2 \cos x \]
Reguła ilorazu
\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \frac{f'(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]
Łatwy sposób zapamiętania: „pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, wszystko przez mianownik do kwadratu”. Przykład:
\[ \left(\frac{x^2}{x+1}\right)’ = \frac{2x(x+1) – x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
Reguła łańcuchowa (pochodna funkcji złożonej)
\[ (f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
To jedna z najważniejszych i najczęściej używanych reguł. Mówiąc prościej: różniczkujemy „zewnętrzną” funkcję, zostawiając „wewnętrzną” bez zmian, a następnie mnożymy przez pochodną funkcji „wewnętrznej”. Przykłady:
\[ (\sin(3x))’ = \cos(3x) \cdot (3x)’ = 3\cos(3x) \]
\[ (e^{x^2})’ = e^{x^2} \cdot (x^2)’ = 2xe^{x^2} \]
\[ ((2x+1)^5)’ = 5(2x+1)^4 \cdot (2x+1)’ = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4 \]
Przykłady obliczania pochodnych krok po kroku
Przykład 1: Funkcja wielomianowa
Obliczmy pochodną funkcji \( f(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x – 7 \)
Rozwiązanie:
\[ f'(x) = (3x^4)’ – (2x^3)’ + (5x)’ – (7)’ \]
\[ f'(x) = 3 \cdot 4x^3 – 2 \cdot 3x^2 + 5 \cdot 1 – 0 \]
\[ f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5 \]
Przykład 2: Funkcja z iloczynem
Obliczmy pochodną funkcji \( f(x) = x^3 \cdot e^x \)
Rozwiązanie:
Stosujemy regułę iloczynu:
\[ f'(x) = (x^3)’ \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)’ \]
\[ f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x \]
\[ f'(x) = e^x(3x^2 + x^3) \]
Przykład 3: Funkcja z ilorazem
Obliczmy pochodną funkcji \( f(x) = \frac{\ln x}{x^2} \)
Rozwiązanie:
Stosujemy regułę ilorazu:
\[ f'(x) = \frac{(\ln x)’ \cdot x^2 – \ln x \cdot (x^2)’}{(x^2)^2} \]
\[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 – \ln x \cdot 2x}{x^4} \]
\[ f'(x) = \frac{x – 2x\ln x}{x^4} = \frac{1 – 2\ln x}{x^3} \]
Przykład 4: Funkcja złożona
Obliczmy pochodną funkcji \( f(x) = \sin(x^2 + 3x) \)
Rozwiązanie:
Stosujemy regułę łańcuchową:
\[ f'(x) = \cos(x^2 + 3x) \cdot (x^2 + 3x)’ \]
\[ f'(x) = \cos(x^2 + 3x) \cdot (2x + 3) \]
\[ f'(x) = (2x + 3)\cos(x^2 + 3x) \]
Przykład 5: Funkcja bardziej złożona
Obliczmy pochodną funkcji \( f(x) = e^{\sin x} \)
Rozwiązanie:
Stosujemy regułę łańcuchową:
\[ f'(x) = e^{\sin x} \cdot (\sin x)’ \]
\[ f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x \]
Wizualizacja pochodnych
Aby lepiej zrozumieć, czym jest pochodna, zobaczmy graficzną interpretację. Poniższy wykres pokazuje funkcję \( f(x) = x^2 \) oraz jej pochodną \( f'(x) = 2x \):
Niebieski wykres przedstawia funkcję \( f(x) = x^2 \), a czerwony wykres to jej pochodna \( f'(x) = 2x \). Zauważ, że:
- Gdy funkcja \( f(x) \) ma minimum (w punkcie \( x = 0 \)), pochodna przecina oś x (równa się zero)
- Gdy funkcja \( f(x) \) rośnie, pochodna jest dodatnia
- Im bardziej stroma jest funkcja, tym większa wartość pochodnej
Kalkulator pochodnych
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator, który pomoże Ci obliczyć pochodne podstawowych funkcji potęgowych postaci \( f(x) = ax^n + bx + c \):
Kalkulator pochodnej funkcji wielomianowej
Oblicz pochodną funkcji: \( f(x) = ax^n + bx + c \)
Zastosowania pochodnych
Pochodne mają szerokie zastosowanie w praktyce. Oto kilka przykładów:
1. Znajdowanie ekstremów funkcji
Pochodna pozwala znaleźć maksima i minima funkcji. W punktach ekstremalnych pochodna równa się zero. Przykład: znajdźmy maksimum funkcji \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \).
\[ f'(x) = -2x + 4 \]
Przyrównujemy do zera:
\[ -2x + 4 = 0 \]
\[ x = 2 \]
Funkcja osiąga maksimum w punkcie \( x = 2 \), a wartość maksymalna wynosi \( f(2) = -4 + 8 + 1 = 5 \).
2. Analiza monotoniczności
Znak pochodnej informuje nas, czy funkcja rośnie czy maleje:
- Jeśli \( f'(x) > 0 \), funkcja rośnie
- Jeśli \( f'(x) < 0 \), funkcja maleje
- Jeśli \( f'(x) = 0 \), może to być punkt ekstremalny
3. Prędkość i przyspieszenie
W fizyce, jeśli \( s(t) \) oznacza położenie ciała w czasie \( t \), to:
- Prędkość: \( v(t) = s'(t) \)
- Przyspieszenie: \( a(t) = v'(t) = s''(t) \) (druga pochodna)
4. Ekonomia
W ekonomii pochodna funkcji kosztu określa koszt krańcowy, czyli koszt wyprodukowania jednej dodatkowej jednostki towaru.
Pochodne wyższych rzędów
Możemy obliczać pochodne pochodnych, otrzymując pochodne wyższych rzędów:
Pochodna drugiego rzędu: \( f''(x) \) lub \( \frac{d^2f}{dx^2} \)
Pochodna trzeciego rzędu: \( f'''(x) \) lub \( \frac{d^3f}{dx^3} \)
Przykład: dla funkcji \( f(x) = x^4 \)
- \( f'(x) = 4x^3 \)
- \( f''(x) = 12x^2 \)
- \( f'''(x) = 24x \)
- \( f^{(4)}(x) = 24 \)
- \( f^{(5)}(x) = 0 \)
Najczęstsze błędy przy obliczaniu pochodnych
Błąd 1: Mylenie reguły iloczynu
Źle: \( (x \cdot \sin x)' = x' \cdot \sin'x = 1 \cdot \cos x \) ❌
Dobrze: \( (x \cdot \sin x)' = x' \cdot \sin x + x \cdot \sin'x = \sin x + x\cos x \) ✓
Błąd 2: Zapominanie o regule łańcuchowej
Źle: \( (\sin(2x))' = \cos(2x) \) ❌
Dobrze: \( (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \) ✓
Błąd 3: Nieprawidłowe stosowanie reguły ilorazu
Pamiętaj o kolejności w liczniku i o kwadracie mianownika!
Tabela zaawansowanych wzorów
| Funkcja | Pochodna |
|---|---|
| \( \frac{1}{x} = x^{-1} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) |
| \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| \( e^{kx} \) | \( ke^{kx} \) |
| \( \ln(kx) \) | \( \frac{1}{x} \) |
| \( \sin(kx) \) | \( k\cos(kx) \) |
| \( \cos(kx) \) | \( -k\sin(kx) \) |
| \( x^x \) | \( x^x(\ln x + 1) \) |
| \( |x| \) | \( \frac{x}{|x|} \) dla \( x \neq 0 \) |
Wskazówki do zapamiętywania wzorów
Oto kilka wskazówek, które pomogą Ci zapamiętać najważniejsze wzory na pochodne:
- Funkcje trygonometryczne: Pochodna sinusa to cosinus, a pochodna cosinusa to minus sinus. Tangens i cotangens mają pochodne z mianownikami będącymi kwadratami.
- Funkcje wykładnicze: \( e^x \) jest wyjątkowe – jego pochodna to ono samo!
- Logarytm naturalny: Pochodna \( \ln x \) to \( \frac{1}{x} \) – prosty i elegancki wzór.
- Funkcja potęgowa: "Wykładnik schodzi na dół i zmniejsza się o jeden" – \( x^n \) daje \( nx^{n-1} \).
- Reguła łańcuchowa: Zawsze pamiętaj o pochodnej "wewnętrznej" funkcji!
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Sprawdź swoją wiedzę, rozwiązując poniższe zadania:
- Oblicz pochodną: \( f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 3 \)
- Oblicz pochodną: \( f(x) = x^2 \cdot \ln x \)
- Oblicz pochodną: \( f(x) = \frac{e^x}{x^2} \)
- Oblicz pochodną: \( f(x) = \sin(x^2) \)
- Oblicz pochodną: \( f(x) = (3x + 1)^4 \)
Odpowiedzi:
- \( f'(x) = 15x^2 - 4x + 7 \)
- \( f'(x) = 2x\ln x + x \)
- \( f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{x^3} \)
- \( f'(x) = 2x\cos(x^2) \)
- \( f'(x) = 12(3x+1)^3 \)
Podsumowanie
Pochodne to fundamentalne narzędzie w matematyce, które pozwala badać zachowanie funkcji i rozwiązywać problemy optymalizacyjne. Kluczem do sukcesu jest:
- Znajomość podstawowych wzorów na pochodne funkcji elementarnych
- Umiejętność stosowania reguł różniczkowania (suma, iloczyn, iloraz, łańcuchowa)
- Praktyka – im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej będziesz się czuł
- Zrozumienie geometrycznej interpretacji pochodnej jako nachylenia stycznej
Pamiętaj, że nauka obliczania pochodnych to proces. Na początku może wydawać się skomplikowany, ale z praktyką stanie się intuicyjny. Wracaj do tego artykułu zawsze, gdy będziesz potrzebować przypomnieć sobie konkretny wzór lub regułę. Powodzenia w nauce matematyki!