Logarytmy pojawiają się w matematyce bardzo często: w zadaniach z procentami, skalami (np. skala Richtera), w fizyce, chemii, informatyce. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest logarytm, jakie ma własności oraz jak rozwiązywać proste zadania z logarytmów. Na końcu znajdziesz prosty kalkulator logarytmów oraz wykres funkcji logarytmicznej.
Co to jest logarytm?
Intuicyjnie logarytm odpowiedzią na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść daną liczbę (podstawę), aby otrzymać inną liczbę?
Jeśli mamy równość potęgową:
\[ a^x = b, \quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0, \]
to logarytm z liczby \(b\) przy podstawie \(a\) definiujemy jako:
\[ \log_a b = x. \]
Czyli:
- \(a\) – podstawa logarytmu,
- \(b\) – liczba logarytmowana (argument logarytmu),
- \(x\) – wynik logarytmu (wykładnik).
Przykłady definicyjne
- \(2^3 = 8 \Rightarrow \log_2 8 = 3\)
- \(10^2 = 100 \Rightarrow \log_{10} 100 = 2\)
- \(5^0 = 1 \Rightarrow \log_5 1 = 0\)
Warunki istnienia logarytmu
Aby logarytm \(\log_a b\) był określony, muszą być spełnione warunki:
- \(a > 0\)
- \(a \neq 1\)
- \(b > 0\)
Uwaga: Nie wolno logarytmować liczb ujemnych ani zera, np. \(\log_2(-4)\) oraz \(\log_3 0\) nie są zdefiniowane w liczbach rzeczywistych.
Najczęściej używane logarytmy
- Logarytm dziesiętny – podstawa \(10\):
\[\log_{10} x\]
Często zapisuje się go po prostu jako \(\log x\), szczególnie w zadaniach szkolnych. - Logarytm naturalny – podstawa \(e \approx 2{,}71828\):
\[\ln x = \log_e x\]
logarytm naturalny bardzo często występuje w analizie matematycznej i fizyce.
Podstawowe wzory na logarytmy
Poniżej zebrano najważniejsze wzory logarytmiczne, które warto znać.
Wzory elementarne
\[ \log_a a = 1 \]
\[ \log_a 1 = 0 \]
\[ \log_a a^k = k \quad \text{(bo } a^k = a^k \text{)} \]
Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi
1. Logarytm iloczynu
\[ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \]
Interpretacja: iloczyn \(x \cdot y\) zamienia się na sumę logarytmów.
2. Logarytm ilorazu
\[ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y \]
Interpretacja: iloraz \(\frac{x}{y}\) zamienia się na różnicę logarytmów.
3. Logarytm potęgi
\[ \log_a (x^k) = k \log_a x \]
Interpretacja: wykładnik potęgi „schodzi przed logarytm”.
Zmiana podstawy logarytmu
Często potrzebujemy przeliczyć logarytm o jednej podstawie na inną. Służy do tego wzór:
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, \quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0,\ c>0,\ c\neq 1. \]
W praktyce najczęściej wybieramy \(c = 10\) lub \(c = e\), bo takie logarytmy potrafi obliczyć kalkulator.
Tabela podstawowych własności
| Własność | Wzór | Warunki |
|---|---|---|
| Logarytm z podstawy | \(\log_a a = 1\) | \(a>0,\ a\neq 1\) |
| Logarytm z 1 | \(\log_a 1 = 0\) | \(a>0,\ a\neq 1\) |
| Iloczyn | \(\log_a(xy)=\log_a x + \log_a y\) | \(x>0,\ y>0\) |
| Iloraz | \(\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x – \log_a y\) | \(x>0,\ y>0\) |
| Potęga | \(\log_a(x^k)=k\log_a x\) | \(x>0\) |
| Zmiana podstawy | \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) | \(a,b,c>0,\ a\neq 1,\ c\neq 1\) |
Jak obliczać logarytmy – proste przykłady
Przykład 1: logarytmy „ładnych” potęg
Oblicz \(\log_2 8\).
Wiemy, że \(2^3 = 8\), więc z definicji:
\[ \log_2 8 = 3. \]
Przykład 2: logarytm dziesiętny
Oblicz \(\log_{10} 1000\).
\(10^3 = 1000\), więc:
\[ \log_{10} 1000 = 3. \]
Przykład 3: liczby, które nie są oczywistymi potęgami
Oblicz \(\log_2 32\).
32 można zapisać jako \(2^5\), więc:
\[ \log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5. \]
Przykład 4: wykorzystanie wzoru na logarytm potęgi
Oblicz \(\log_3 81\).
81 to \(3^4\), więc:
\[ \log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4. \]
Przykład 5: logarytm ułamka
Oblicz \(\log_2 \frac{1}{8}\).
Wiemy, że \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\). Zatem:
\[ \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 (2^{-3}) = -3. \]
Przykład 6: użycie zmiany podstawy (obliczanie na kalkulatorze)
Oblicz \(\log_2 5\) (bez kalkulatora z funkcją \(\log_2\), ale z funkcją \(\log_{10}\) lub \(\ln\)).
Z zastosowaniem wzoru na zmianę podstawy (np. na podstawę 10):
\[ \log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2}. \]
Na zwykłym kalkulatorze wpisujemy więc: \(\log(5) \div \log(2)\).
Rozwiązywanie równań z logarytmami
Przykład 7: proste równanie logarytmiczne
Rozwiąż równanie: \(\log_3 x = 2\).
- Z definicji logarytmu: \(\log_3 x = 2 \iff 3^2 = x\).
- Zatem \(x = 9\).
- Sprawdzenie: \(\log_3 9 = 2\), bo \(3^2=9\).
Przykład 8: równanie z logarytmem po jednej stronie
Rozwiąż równanie: \(\log_2 x = 5\).
\[ \log_2 x = 5 \iff 2^5 = x \iff x = 32. \]
Przykład 9: logarytmy po obu stronach równania
Rozwiąż równanie: \(\log_3 (x+1) = \log_3 10\).
- Skoro logarytmy o tej samej podstawie są równe, to ich argumenty też muszą być równe (przy spełnionych warunkach istnienia):
\[ x + 1 = 10. \]
- Stąd \(x = 9\).
- Warunek istnienia: \(x+1>0 \Rightarrow x>-1\). Nasze rozwiązanie \(x=9\) spełnia warunek.
Przykład 10: wykorzystanie wzoru na iloczyn
Rozwiąż równanie: \(\log_2 (4x) = 5\).
- Zapisz \(4x\) jako iloczyn:
\[\log_2 (4x) = \log_2 4 + \log_2 x.\] - Wiemy, że \(4 = 2^2\), więc \(\log_2 4 = 2\). Równanie przyjmuje postać:
\[\log_2 4 + \log_2 x = 5 \Rightarrow 2 + \log_2 x = 5.\] - Przenosimy 2 na drugą stronę:
\[\log_2 x = 3.\] - Z definicji: \(2^3 = x \Rightarrow x = 8.\)
- Warunek: \(4x>0 \Rightarrow x>0\). Nasze rozwiązanie \(x=8\) jest poprawne.
Typowe błędy przy logarytmach
- Logarytmowanie liczb ujemnych lub zera: \(\log_a (-2)\), \(\log_a 0\) – niedozwolone w liczbach rzeczywistych.
- Zła podstawa logarytmu: podstawa musi być dodatnia i różna od 1.
- Mylone wzory: np. błędne pisanie \(\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y\) – taki wzór NIE jest prawdziwy!
Prosty kalkulator logarytmów (JavaScript)
Poniższy prosty kalkulator pomaga obliczyć logarytm \(\log_a b\), wykorzystując w tle wzór zmiany podstawy:
\[ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}. \]
Kalkulator \(\log_a b\)
Jak korzystać z kalkulatora?
- Wpisz podstawę \(a\) (np. 2, 10, 3 itp.).
- Wpisz liczbę logarytmowaną \(b\) (musi być dodatnia).
- Kliknij „Oblicz \(\log_a b\)”.
- Wynik pojawi się poniżej przybliżony do 6 miejsc po przecinku.
Funkcja logarytmiczna i jej wykres
Funkcja logarytmiczna o podstawie \(a\) ma postać:
\[ f(x) = \log_a x, \quad a>0,\ a\neq 1. \]
Jej dziedziną są liczby dodatnie: \(x>0\).
Najważniejsze cechy wykresu funkcji logarytmicznej
- Definiowana tylko dla \(x>0\).
- Przechodzi przez punkt \((1,0)\), bo \(\log_a 1 = 0\).
- Dla \(a>1\) (np. 2, 10) jest funkcją rosnącą.
- Dla \(0<a<1\) (np. \(\frac12\)) jest funkcją malejącą.
Prosty wykres funkcji \(y=\log_{10} x\)
Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres funkcji logarytmicznej o podstawie 10, przedstawiony za pomocą biblioteki Chart.js.
Przykładowe zadania z logarytmów (do samodzielnego rozwiązania)
Zadanie 1
Oblicz:
- \(\log_3 27\)
- \(\log_5 125\)
- \(\log_4 1\)
Wskazówka: zamień liczby na potęgi odpowiednich podstaw.
Zadanie 2
Uprość wyrażenie:
\[ \log_2 8 + \log_2 4. \]
Wskazówka: możesz obliczyć osobno logarytmy lub użyć wzoru na logarytm iloczynu.
Zadanie 3
Rozwiąż równanie:
\[ \log_5 x = 3. \]
Zadanie 4
Rozwiąż równanie:
\[ \log_3 (x-1) = 2. \]
Wskazówka: najpierw zdefiniuj warunek istnienia logarytmu, potem przejdź do postaci potęgowej.
Zadanie 5
Uprość wyrażenie:
\[ \log_a a^5 – \log_a a^2. \]
Propozycja sprawdzenia odpowiedzi
Po samodzielnym rozwiązaniu możesz:
- Sprawdzić odpowiedzi, podstawiając je z powrotem do równań.
- Użyć kalkulatora logarytmów z tego artykułu, aby zweryfikować wyniki liczbowo.
Podsumowanie
- Logarytm \(\log_a b\) odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść \(a\), aby otrzymać \(b\).
- Warunki istnienia: \(a>0,\ a\neq 1,\ b>0\).
- Najważniejsze wzory:
\[\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y,\quad \log_a(x^k)=k\log_a x.\] - Wzór zmiany podstawy pozwala obliczać logarytmy na zwykłym kalkulatorze:
\[\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a}.\] - Funkcja \(f(x)=\log_a x\) jest określona tylko dla \(x>0\), a jej kształt zależy od podstawy \(a\).
Znajomość tych własności pozwoli Ci rozwiązywać typowe zadania z logarytmów na poziomie szkoły podstawowej i średniej.